MSPH7901 Session 5 · 假设检验

预习笔记：卡方检验与期望频数表、Fisher 精确检验、McNemar 配对检验；t 分布与单样本/配对/独立两样本 t 检验、Wilcoxon 符号秩与 Mann-Whitney U 非参数检验；ANOVA 原理与 F 统计量，含课堂录音要点与自测题。

一、本讲信息

  • 课程：MSPH7901 Introduction to Biostatistics（香港大学公共卫生学院）
  • 讲次：Session 5 – Hypothesis tests
  • 上课日期：2026-10-17
  • 讲师：Sheikh Taslim Ali（School of Public Health, The University of Hong Kong）
  • 主课件：session5handout.pdf（85 页，页眉标注 CMED6100 – Session 5，为两课程共用课件），分四部分：分类变量检验、连续变量检验、方差分析（ANOVA）、Review
  • 课程公告（课件第 2–3 页）：作业截止 17 Oct（S4）、31 Oct（S5）、7 Nov（P2），均为周六 23:59；期中考试 10 月 24 日（周六）9:30，范围 Session 1–4，105 分钟，题型 MCQ（10×5）+ SAQ（3×16），需带计算器（不得用手机）；唯一需要记忆的公式是标准误（standard error），其余公式考试时会提供

二、学习目标

依据课件 Objectives 页，学完本讲应能：
  1. 描述比较两个分类变量（categorical variable）关联的统计检验：Pearson 卡方检验（chi-squared test）、Fisher 精确检验（Fisher's exact test）、McNemar 检验（McNemar's test）；
  1. 描述比较连续变量（continuous variable）均值或配对均值差与某一零值（null value）的检验：单样本 t 检验（one-sample t-test）、配对 t 检验（paired t-test）、Wilcoxon 符号秩检验（Wilcoxon signed-rank test）；
  1. 描述比较两组连续变量均值的检验：独立两样本 t 检验（independent two-sample t-test）、Mann-Whitney U 检验（Mann-Whitney U test，又称 Wilcoxon 秩和检验 Wilcoxon rank-sum test）。
考核说明：不要求手工完成整套检验，但要求能描述假设检验的基本思路（例如为卡方检验构造期望频数表、比较观察频数与期望频数），并正确写出各检验的零假设（null hypothesis）与关键假设（key assumptions）。

三、核心内容

0. 假设检验回顾（Recap）

  • 统计假设（statistical hypothesis）是关于总体特征（如总体均值 μ）的断言；零假设（null hypothesis, H₀）通常是"无差异"（如 H₀: μ = μ₀），备择假设（alternative hypothesis, H₁）是与 H₀ 互补的假设（μ ≠ μ₀）。
  • 两类错误：第一类错误（Type I error）概率为显著性水平 α；第二类错误（Type II error）概率为 β，检验功效（power）= 1 − β。
  • p 值的逻辑建立在抽样理论（sampling theory）之上：在 H₀ 成立时可以推出"会得到什么样的数据"；把实际数据与该预期比较，极端的 p 值被视为拒绝 H₀ 的证据。课件示例：若 H₀（均值差为 0）为真，观察到大于 5 或小于 −5 的均值差极为罕见——重复实验中只有 1% 的可能，故落入尾部即构成反对 H₀ 的证据。
  • 实践中通常只抽一个样本，但 p 值与置信区间（confidence interval）的解释基于"重复抽取多个样本"的概念框架。

1. 分类变量的检验（Part I）

列联表与卡方检验。 工厂职业健康研究将 117 起事故按员工年龄与事故类型分类，构成 2×3 列联表（contingency table）。检验"事故类型与年龄独立"的步骤：
  1. 计算边际合计（marginal totals）：年龄 <25 共 31 人、≥25 共 86 人；扭伤（Sprain）70、烧伤（Burn）30、割伤（Cut）17，总计 117。
  1. 在独立假设下计算每个格子的期望频数（expected count）：E = 行合计 × 列合计 ÷ 总合计。例如 <25 岁扭伤的期望数 = 31 × 70/117 = 18.55。
  1. 卡方统计量 χ² = Σ(Oᵢ − Eᵢ)²/Eᵢ，其中 O 为观察频数。本例 6 个格子的贡献依次为 4.92 + 10.30 + 0.06 + 1.77 + 3.71 + 0.02 = 20.78。
  1. 该统计量服从自由度（degrees of freedom, df）= (m−1)×(n−1) 的卡方分布（本例 m=2 行、n=3 列，df = 2），对应 p ≪ 0.001，即有强证据拒绝独立性零假设。
** 自由度的直观解释：** 卡方检验固定边际合计后，2×2 表中一旦选定 A 格的取值，B、C 随之确定，可自由变动的只有 1 个格子，故 df = 1；一般 m 行 n 列的表 df = (m−1)×(n−1)。
** 卡方检验的适用条件：** 要求不超过 10% 的格子期望频数小于 5；否则检验不适用。
Fisher 精确检验。 当样本量小、期望频数过低时（如小临床试验 2/7、8/2 的 2×2 表，某格期望频数 9×9/19 = 4.3 < 5），改用 Fisher 精确检验：在边际合计不变的前提下枚举所有可能的列联表，计算当前表及更极端表在独立假设下出现的概率。课件枚举了 10 张可能表（概率 p₁…p₁₀ 之和为 1），单侧 p 值 = p₁+p₂+p₃ = 0.01852，双侧 p 值 = 0.023。R 或 SPSS 会在卡方条件不满足时自动改用该法。
McNemar 检验（配对样本）。 1319 名足癣患者一只脚用治疗 X、另一只用治疗 Y，同一患者两脚结局相关，不能忽略这种配对。零假设为"X 治愈比例 = Y 治愈比例"，可化简为 B = C（仅非对角格子）。检验统计量 (B−C)²/(B+C) 服从 df = 1 的卡方分布；本例 (144−256)²/(144+256) = 31.4，远超 df=1 卡方分布的 95% 分位数 3.84，高度显著。
** 小结：** 独立样本两分类变量比较通常用卡方检验；超过 10% 格子期望频数 <5 时用 Fisher 精确检验；配对/重复测量数据用 McNemar 检验。

2. 连续变量的检验（Part II）

以一个饮食干预随机对照试验为主线：32 名患者随机分为对照组与干预组各 16 人，测量基线与 2 周后体重。干预组体重差均值 −5.1 kg（SD 1.8），对照组 −2.8 kg（SD 1.2）；两组后测体重均值分别为 78.3（SD 14.0）与 82.6（SD 10.7）。课件比较了三种分析路径：
  1. 只看干预组自身前后变化（忽略对照组）；
  1. 比较两组后测体重（忽略基线）;
  1. 比较两组体重变化量（前后差值）。
t 分布（t distribution）与 t 检验。 z 检验依赖中心极限定理（Central Limit Theorem），仅在大样本时样本均值近似正态。小样本时的替代方案：若原始数据服从正态分布（Normal distribution），则样本均值服从 t 分布——t 分布对称但尾部比正态分布"厚"，自由度增大时趋近正态。该检验由 William Gosset 于 1908 年推导发表。数据是否正态可先作直方图检查；本例干预组体重差的分布可视为近似正态。
** 路径 1 —— 单样本/配对 t 检验。** 检验干预组前后差 Δ 是否为 0（H₀: Δt = 0），属于单样本 t 检验；配对数据相减后成为单一变量，故配对 t 检验与单样本 t 检验本质相同。统计量 T = (D̄t − 0)/(st/√n) = −5.1/(1.8/√16) = −11.3，df = n−1 = 15，p < 0.001，拒绝零假设。缺陷：对照组也减轻了体重，可能是向均数回归（regression to the mean）与安慰剂效应（placebo effect），仅凭干预组前后差不能证明干预有效。
** 路径 2 —— 独立两样本 t 检验（后测体重）。** H₀: μc = μt；统计量 T = (X̄c − X̄t)/(sp·√(2/n))，其中合并标准差 sp = √((s₁² + s₂²)/2)。本例 T = (82.6−78.3)/(√((10.7²+14.0²)/2)·√(2/16)) = 0.98，df = 2n−2 = 30，双侧 p = 0.33 > 0.05，不能拒绝零假设。缺陷：忽略了基线信息。
** 路径 3 —— 比较两组前后差值（最合适）。** 基线与后测体重高度相关（散点图显示两组各自呈强正相关），比较差值能利用这一相关信息、使检验更有效（powerful）。H₀: Δc = Δt；T = (D̄c − D̄t)/(sp·√(2/n)) = (−2.8−(−5.1))/(√((1.2²+1.8²)/2)·√(2/16)) = 4.25，df = 30，双侧 p < 0.001，强证据拒绝零假设。
** 两样本 t 检验的假设：** 两样本来自同一正态分布（均值、方差相同）。分布明显偏斜（skewed）时可先做对数变换（log transformation）再做 t 检验；方差相差悬殊时 t 检验的 p 值不可靠；方差相近但不服从正态且样本小时，改用非参数检验（non-parametric test）Mann-Whitney U 检验。
Wilcoxon 符号秩检验。 当正态假设不成立且样本小时，它是配对 t 检验/单样本 t 检验的非参数替代：考察有多少观察值落在零值（如 0）之上/之下，并兼顾数值大小，评估如此极端的分布有多不可能。本例干预组 p < 0.001，与配对 t 检验结论一致。
Mann-Whitney U 检验（Wilcoxon 秩和检验）。 以麻醉（A 组：无麻醉；B 组：有麻醉）反应时间（ms）为例，A: 135,141,143,149,171,172；B: 142,158,170,189,254,289。步骤：① 两组数据合并从小到大排序并标注组别；② 依次考察每个 B，数其前面有几个 A，求和得 UA = 28；③ 反之数每个 A 前面有几个 B，得 UB = 8；④ 取较小的 U（= 8）查表得 p = 0.11。U 的最大值为两组样本量之积（6×6 = 36）；H₀ 下平均而言 UA = UB = 18。饮食数据中比较差值 p < 0.001、比较后测体重 p = 0.11。
** 小结：** 比较差值比比较后测值更能检出干预效应（基线与后测高相关时的常见现象）；在正态假设成立时，参数检验（parametric test，如 t 检验）通常比非参数检验得到更小的 p 值，即更有效。

3. 方差分析 ANOVA（Part III）

** 用途与假设。** 方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）用于检验三个或以上处理组之间连续结局变量均值的差异（与线性回归有诸多相似，但侧重假设检验）。假设：各组结局变量服从正态分布，且方差相同（方差齐性 homogeneity of variance，可用 R/SPSS 中的检验核查）。
** 为什么不用多次 t 检验：** t 检验一次只能比较两组；在 5% 显著性水平下，每次检验即使组间无真实差异也有 5% 的机会得到"显著"，多次检验会显著增加假阳性（spurious result）风险；应使用一次 ANOVA 代替多次 t 检验。
** 原理：** 把数据的总变异（总平方和 ST）分解为组间变异（SA）与组内变异/误差（SE）两部分；组间方差相对组内方差越大，越有证据认为组均值不同。示意对比：三组均值相同距离下，组内变异小则差异显著，组内变异大则可能不显著。
** 例题计算（24 只大鼠随机分 3 种药物，记录反应时间 ms）。** 组均值 16.13、17.63、24.25；组合计 T₁=129、T₂=141、T₃=194，总计 T=464，每组 n=8。总平方和 ST = ΣXᵢ² − T²/N = 10076 − 8970.667 = 1105.333；组间平方和 SA = ΣTᵢ²/Nᵢ − T²/N = 9269.75 − 8970.667 = 299.083；组内（误差）SE = ST − SA = 806.250。
ANOVA 表的构成： 组间 df = 组数−1 = 2；组内 df = 总个体数−组数 = 21；总 df = 23。均方（mean square, MS）= 各行平方和 ÷ 各行 df；F 统计量 = 组间 MS ÷ 组内（误差）MS = 149.542/38.393 = 3.895。查 F 分布得 p = 0.036 < 0.05，5% 水平下拒绝"三组均值相等"的零假设；之后可进一步做事后多重比较（post-hoc test，如 Tukey HSD）确定具体哪几组不同。

4. Review：文献中"显著性比较"的误用

Nieuwenhuis 等（2011, Nature Neuroscience）综述了 513 篇行为/系统/认知神经科学论文，其中 78 篇使用了正确程序、79 篇使用了错误程序。课件归纳三类错误：
  1. 比较实验组与对照组效应时，错误地对比两效应各自的显著性（一个 P<0.05、另一个 P>0.05 就断言两效应不同）；正确做法是在单一假设检验中直接比较两个效应量之差。
  1. 评价干预前后变化时，错误地分别检验前测、后测的显著性；正确做法是在单一检验中直接比较治疗组与对照组的前后变化量。
  1. 多于两组比较时，错误地做多次两两显著性检验；正确做法是将全部数据纳入单一模型（ANOVA 或 Session 7 的回归模型）先检验总体效应，避免多重检验（multiple testing）问题；若认为某效应仅存在于特定组，需在模型中加入交互项（interaction term）。
课程结论：只要假设满足，参数检验比非参数检验更有效；务必想清楚应检验的假设是什么。

四、关键图解

【图待补】p7-null-sampling-distribution.png — 原假设下的抽样分布 图 1（课件 p7）：若零假设（均值差为 0）为真，重复实验的均值差抽样分布；落在 ±5 之外尾部的概率仅约 1%，极端结果即构成拒绝 H₀ 的证据——这是 p 值的直观来源。
【图待补】p12-expected-counts.png — 期望频数表 图 2（课件 p12）：事故数据在"年龄与事故类型独立"假设下的期望频数表；每个格子 E = 行合计 × 列合计 ÷ 总合计（如 31×70/117 = 18.55），这是卡方检验的核心构造（考核要求）。
【图待补】p19-fisher-all-tables.png — Fisher 精确检验枚举 图 3（课件 p19）：Fisher 精确检验枚举边际合计相同的全部 10 张可能表及各自概率（p₁…p₁₀ 之和为 1），p 值即当前表及更极端表的概率之和。
【图待补】p35-t-distribution.png — t 分布与正态分布 图 4（课件 p35）：t 分布与正态分布对比——t 分布尾部更厚，自由度增大时收敛于正态分布；这是小样本 t 检验的理论基础。
【图待补】p47-baseline-posttest-correlation.png — 基线与后测体重高相关 图 5（课件 p47）：两组基线与后测体重均呈强正相关；正因为这种高相关，比较前后差值（路径 3）比直接比较后测值（路径 2）更有效。
【图待补】p58-approaches-pvalues.png — 三种路径的 p 值对比 图 6（课件 p58）：三种分析路径汇总——比较后测体重 t 检验 p=0.33、Mann-Whitney U p=0.11（均不显著）；比较前后差值则分别为 p<0.001（均显著），比较差值的检验更有效（powerful）。
【图待补】p64-anova-illustration.png — ANOVA 组内变异示意 图 7（课件 p64）：三组分布示意——组内变异小时组间均值差异易达显著，组内变异大时同样的均值差异可能不显著；ANOVA 通过比较组间与组内方差作判断。
【图待补】p75-anova-table.png — ANOVA 表 图 8（课件 p75）：大鼠药物实验的 ANOVA 表——组间 SS=299.083（df=2）、组内 SS=806.250（df=21）、总计 1105.333（df=23）；F = 组间 MS/组内 MS = 3.895，p=0.036。

五、课前思考 / 自测

  1. 对事故列联表（9/17/5；61/13/12），请用期望频数表计算 χ² 统计量（课件给出 20.78），并说明该值接近 0 与很大时分别意味着什么。
  1. 一个 2×2 列联表的卡方检验自由度是多少？推导思路是什么？
  1. 什么时候应改用 Fisher 精确检验或 McNemar 检验而不是卡方检验？
  1. 饮食干预试验的三种分析路径各忽略了什么信息？为什么路径 3（比较两组前后差值）最合适？
  1. 比较三组及以上均值时，为什么不应做多次两两 t 检验？ANOVA 表中 F 统计量是如何构造的？

六、参考材料

  • 主课件：Materials/session5handout.pdf（85 页，Sheikh Taslim Ali，CMED6100 – Session 5，17 Oct 2026；Print3/Print6 为同一 handout 的打印排版副本）
  • 辅助材料：Materials/Session-5 Concept note.pdf（概念笔记，含各检验适用条件总结表及 Levene 检验、log-rank 检验、Pearson/Spearman 相关检验简介）
  • 课件 p85 参考文献：Nieuwenhuis S, et al. Erroneous analyses of interactions in neuroscience. Nat Neurosci. 2011;14(9):1105-7；Altman DG, Bland JM. Comparing several groups using analysis of variance. BMJ. 1996;312:1472-3；Bland & Altman. Multiple significance tests: the Bonferroni method（BMJ）

七、课堂要点补充（来源：课堂录音）

  • 随机抽样是统计推断的前提：老师开场强调，只有在随机样本上统计量才有已知的抽样分布，才能套用统计理论解释；非随机样本也能算出数值，但没有分布、没有理论支撑，无法作统计推断。
  • ** 卡方统计量大小的含义**：数值大表示观察频数与期望频数偏离远（反对独立性假设）；接近 0 表示两者接近（与独立假设一致）。
  • ** 自由度的课堂推导**：固定边际合计后，把某格减去 Δ、同行另一格加上 Δ，边际不变——可以自由变动的格子数即自由度；2×3 表中 6 格只有 2 格自由。
  • "Student" t 检验的历史：Gosset 曾在啤酒厂（Guinness）做质量控制研究，公司不允许以本名发表，故 1908 年以 "Student" 为笔名发表该检验。
  • Mann-Whitney U 的两个名字：Mann-Whitney U 检验与 Wilcoxon 秩和检验是同一方法，因两组研究者同期独立提交了等价结果而有两个名称。U 的最大值为两组样本量之积（本例 6×6=36）；零假设下平均 UA=UB=18。
  • ** 对已发表论文的现场批评**：老师展示了一篇发表论文——分别检验治疗前（不显著）与治疗后（显著）并据此宣称治疗有效；这正是 Review 部分所指的错误（应比较两组的前后变化量，即路径 3 的做法）。课堂上有同学指出了该分析问题，讲师安排会后进一步讨论。
  • 其余课堂安排：课后答疑可联系讲师团队；期中考试注意事项见课件第 2–3 页。
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