MSPH7901 Session 2 · 相关与回归

一、本讲信息

课程：MSPH7901 Introduction to Biostatistics（讲义页眉沿用 CMED6100 – Session 2 版式，Concept note 与练习题亦标注 CMED6100，两课程共用同一套讲义）

讲次：Session 2 — Correlation and regression

上课日期 ：2026-09-12（讲义封面版本日期为 2025-09-13）

教师：Sheikh Taslim Ali，School of Public Health, The University of Hong Kong

配套安排 （讲义 Slide 2–3）：Assignment 1（仅 4 道 MCQ）经 Moodle 提交，截止 9 月 20 日 23:59（HKT）；Pre-practical 作业（P0 与 Bonus）截止 9 月 17 日 20:59（HKT）；Practical 1 主题为描述统计（descriptive statistics），涉及 R 编程与 bonus 计分。课堂录音中教师再次强调：完成 pre-practical 是参加 Practical 1 的必要条件。

本讲承接 Session 1 的单变量描述统计（位置度量与离散度量），进入两个连续变量关系 的分析。

二、学习目标

依据讲义 Slide 4，本讲结束后应能够：

绘制并解释散点图（scatter plots）；

定义协方差（covariance）与相关（correlation）；

解释最小二乘回归线（least squares regression line）、回归系数（regression coefficients）、相关系数（correlation coefficient）与 R²；

识别向均值回归（regression to the mean）现象。

三、核心内容

讲义分四部分：Part I 定义关联（散点图）、Part II 相关、Part III 简单线性回归、Part IV 更多回归主题。

1. 散点图：定义两个变量的关联（Part I）

散点图（scatter plot） 将一组数据中两个变量的取值同时展示：一个变量的值决定点的水平位置，另一个变量的值决定垂直位置。讲义以学生数据为例：横轴为身高（Height, cm），纵轴为手掌跨度（Hand span, cm），二者呈正向的线性关系；按性别（Male/Female）着色后，男性组内部的关联更明显。相反的例子是身高与上学通勤时间（Time to school），两者不存在关联。

研究变量关系的意义（Slide 12）：识别关联或无关联；识别可能具有因果性的关联；当 X 与 Y 相关而 X 更易测量时，X 可作为 Y 的代理变量（proxy） 。

关联的方向约定：一个变量增大、另一个也随之增大为正相关（positive association） ；一个增大、另一个减小为负相关（negative association） 。

2. 协方差与相关系数（Part II）

方差（variance） 度量单个变量的离散程度：。协方差（covariance） 把这一思想推广到成对观察值，度量两个变量共同的离散（联合变化）程度：

其中、为两变量的均值，n 为点的个数。性质（Slide 17）：X 与 Y 正相关时 Cov > 0；负相关时 Cov < 0；无关联时 Cov = 0；Cov(X,Y) = Cov(Y,X)（对称）。课堂录音补充了直观理解：若点集中于"第一、三象限"则协方差为正，集中于"第二、四象限"则为负，四象限均匀分布时接近 0。协方差的取值范围依赖于变量的量纲，本身不便于比较强弱。

相关系数（correlation coefficient） 将协方差标准化（Slide 18）：

要点：；直线关系递增（递减）时 ρ 为正（负）；ρ 越接近 +1 或 −1，线性关联越强；ρ = 0 只说明没有线性关联 ，不代表没有关联（例如完全的 U 形非线性关系 ρ 也可为 0）。强弱的界定（高/低）取决于研究语境与目的。

使用相关系数的注意事项 （Slide 20）：四组形态完全不同的数据（含非线性关系、离群值）可以有完全相同的相关系数。因此计算相关系数之前必须先看散点图 。

Pearson 相关的假设 （Slide 21）：

数据假设：变量为区间（interval）或比值（ratio）尺度、成对观察、无离群值；

线性假设：X 与 Y 存在线性关联；

正态性假设：两变量数据均近似正态分布；

同方差假设（homoscedasticity）：数据围绕回归线等方差分布。

当数据有极端值或为有序（ordinal，如 Likert 量表）变量时，可用Spearman 秩相关系数（Spearman's rank correlation coefficient） （Slide 22）：先把 X、Y 各自编秩，并列观察值取其所占秩的平均值，再对秩计算 Pearson 相关。讲义血压示例（Slide 23）：12 人收缩压（SBP）与舒张压（DBP）的秩相关，略小于基于原始值的 Pearson 相关 0.894。录音中教师详细演示了并列秩的取法：三个并列的 60 取秩 (1+2+3)/3 = 2。

3. 简单线性回归（Part III）

术语（Slide 29–30）：响应变量（response variable） 是随预测变量变化而被观察到的变量（即 Y），又称因变量（dependent variable）、结局变量（outcome variable）、输出变量等；预测变量（predictor variable） 是能够影响或引起响应变量变化的变量（即 X），又称自变量（independent variable）、解释变量（explanatory variable）、输入变量等。判断依据是因果方向：如研究父母身高与子女身高的关系，子女身高是响应变量。录音提示：考试可能以不同别名提问，需识别同一概念。

回归方程 （Slide 31）：二维直线写作，其中 α 为截距（intercept / y-intercept） ，β 为斜率（slope） ，二者统称参数（parameters）。β 的含义是：x 每增加 1 个单位，y 的期望值平均增加 β 个单位。用该方程在每个 x 处给出的预测值记作。

最小二乘法（least squares） ：同一段散点可以画出无数条直线，需要一条客观准则下的"最佳"直线。定义残差（residual / error） （观察值减预测值，有正有负）。由于正负残差直接求和会相互抵消，最小二乘法选择使** 误差平方和** 最小的 α 与 β。讲义 Slide 35 用真实数据演示：18 名乙二醇中毒（ethylene glycol poisoning）患者（Brent et al., 1999, NEJM；2 例数值重叠，共 17 个点）的血浆乙醇酸（plasma glycolate）对动脉血 pH 的散点图上，某候选直线的误差平方和为 22732。Slide 37–39 用 3、4、6 个点的小数据比较四条候选直线（误差平方和分别为 1/0.5/1/0.75；2/1.36/1.04/1；14/12/4/3.23），取最小者即最佳直线。录音强调：只要使用同一方法，任何人由同一数据得到的最佳直线都是同一条，具体计算由软件完成。

线性回归的假设 （Slide 40）：数据（变量类型、无离群值）、线性、残差正态 、残差独立 （录音补充：即 i.i.d.，独立同分布）、同方差、无多重共线性（multicollinearity，多个自变量之间彼此独立）、无自相关（autocorrelation，多见于时间序列数据）。前五条与 Pearson 相关的假设类似，后两条主要针对多个自变量的回归。

R²（决定系数，coefficient of determination） （Slide 42–43）：样本相关系数记为 r；表示 X 能解释 Y 变异的比例，可由回归输出直接得到。简单线性回归中。示例：乙醇酸对 pH 的 r = −0.89，则 R² = 0.79，可解释为"动脉 pH 解释了血浆乙醇酸水平变异的 79%"。

4. 更多回归主题（Part IV）

向均值回归（regression to the mean） ：可以证明斜率（Slide 52）。当两变量标准差接近（如测量同类变量）时 β ≈ r；由于 r < 1，必有 β < 1——即用 X 预测 Y 时，预测值比 X 本身更靠近 Y 的均值，极端值的后代/后续测量会向均值"回归"。历史上 Karl Pearson（1911–33 年任 UCL Galton 讲席教授）研究母亲与女儿身高数据时称此为"向平庸回归（regression to mediocrity）"（Slide 49–50）。课堂演示：连续两轮 15 词记忆测试，第一轮得分低者第二轮倾向于提高，第一轮高者倾向于回落。

无对照研究的危险 （Slide 53）：电影续集通常不如第一部；测速相机安装在事故"热点"后事故减少；高血压患者就诊后无论给予何种治疗都可能好转——这些都可能部分是向均值回归的表现。因此对照组（control group）不可少 ：Takwale 等（BMJ, 2003）关于琉璃苣油（borage oil）治疗特应性湿疹的随机对照试验中，治疗组与安慰剂组的 SASSAD 评分同步下降，说明不能把改善归因于药物本身（Slide 54）。

残差图与模型诊断 （Slide 55–59）：残差的图形可以揭示重要模式。Forbes 数据（大气压强与水的沸点）：线性尺度下拟合看似合理，但残差对温度的图呈 U 形（弯曲）模式，提示关系非线性；对 Y 取对数后重新拟合，残差围绕 0 无系统模式（仅余一个个别点）。结论：残差图是检查线性模型适用性的工具，必要时对变量作变换（如取对数）。

内插与外推 （Slide 60–63）：内插（interpolation） 在已观察数据点之间取值，对拟合良好的线性模型通常有效；外推（extrapolation） 把趋势延伸到原始数据范围之外，通常不适当。示例：出生体重（birth weight）对孕周（gestational age）的回归可用于估计数据范围内某孕周的体重，但不能回答"孕 50 周的胎儿体重"；男子 100 米世界纪录逐年刷新，据历史数据外推的纪录在 2008 年奥运会被大幅打破纪录的运动员刷新后即失效（录音补充，该届即北京奥运会）。统计预测应同时给出不确定性度量（如置信区间），后续课程讲授。

同方差与异方差 （Slide 64）：Y 的方差随 X 变化称为异方差（heteroscedastic） ；方差在 X 各水平上不变称为同方差（homoscedastic） 。回归在同方差数据上效果更好；异方差数据需其他模型（录音提及广义线性模型，后续课程）。

影响（influence） （Slide 65–67）：离群值（outlier）对回归线的影响取决于其位置。仅在 Y 方向极端、X 处于平均水平附近的点影响小（示例中 r 由 −0.89 变为 −0.81）；在 X 与 Y 两个方向都极端的点影响大（r 进一步变为 −0.59）。录音解释：离 X 均值越远的点，同样的垂直偏差产生的误差越大，对直线位置的牵引越强。

一致性测量（Bland & Altman） （Slide 68）：评估同一指标的两种测量方法（或预测值与实际值）的一致性时，差值图（difference plot）比散点图更有用。示例：自报体重（reported weight）与实测体重相关系数高达 r = 0.98，但差值图显示部分人系统性低报、部分人高报，这类信息在散点图中不可见。

复习（Slide 69）：散点图展示两个连续变量的关系；最小二乘回归线概括线性关系；相关系数度量关系强度——计算前先看散点图；R² 表示响应变量变异被预测变量解释的比例；对两个不完全相关的变量，向均值回归不可避免。

四、关键图解

学生数据散点图：身高（Height, cm）与手掌跨度（Hand span, cm）呈正向线性关系，按性别（Male/Female）着色后组内关联更清晰（Slide 10）。

相关系数取值与散点形态对照（来源：Wikipedia）：ρ 从 +1 到 −1，点由完全同向直线过渡到完全反向直线，ρ = 0 附近无直线趋势（Slide 19）。

四组数据的相关系数完全相同，但分别呈现线性、非线性、受离群值驱动、分组等不同形态——计算相关系数前必须先作散点图（Slide 20）。

乙二醇中毒患者血浆乙醇酸对动脉 pH 的散点图：每点到候选直线的垂直距离为残差 e_i = y_i − ŷ_i，该直线误差平方和 Σe_i² = 22732；最小二乘法即寻找使该值最小的直线（Slide 35）。

同一数据 r = −0.89，R² = 0.79：动脉 pH 解释了血浆乙醇酸水平变异的 79%（Slide 43）。

Karl Pearson 的母亲–女儿身高数据：回归线斜率小于 1（虚线为 β = 1），母亲身高极端时女儿身高平均更接近人群均值，即"向平庸回归"（Slide 50）。

Forbes 数据线性拟合的残差呈 U 形（弯曲）模式，说明气压与沸点的关系并非线性，应对 Y 作对数变换；变换后残差无系统模式（Slide 57，对照 Slide 59）。

左：异方差（heteroscedastic）——Y 的离散程度随 X 增大而增大；右：同方差（homoscedastic）——Y 的方差在 X 各水平上不变，回归在同方差数据上效果更好（Slide 64）。

五、课前思考 / 自测

以下题目取自 session2_practice question.pdf（页末附官方参考答案，括号内为该答案）：

（题 2.1）四幅散点图给出不同的 X–Y 关联。叙述 I：图 (a) 为正相关；II：图 (b) 关联最强；III：图 (d) 的相关接近 0。哪些成立？（答案：E，仅 III）——考查由散点形态判断方向与强度。

（题 2.6）I：Cov(X,Y) 的取值范围是 −1 到 1；II：R² 表示 X 解释的 Y 方差比例；III：X 与 Y 正相关时 Cov(X,Y) > 0。哪些成立？（答案：D，II 与 III）——考查协方差与相关系数的区分。

（题 2.8）下列哪项不正确？A) Y 对 X 的最小二乘回归线与 X 对 Y 的相同；B) 最小二乘线通过最小化 Y 与 α+βX 之间差的平方和得到；C) Cor(X,Y) = Cor(Y,X)；D) Cov(X,Y) = Cov(Y,X)；E) R² 取值在 0 到 1 之间。（答案：A）——考查对"预测哪个变量"决定回归方向的理解。

（题 2.9）鱼接触不同浓度污染物的平均致困时间，回归方程 Y = 20 − 2X，r = −0.60。I：致困时间随 log(浓度) 下降；II：约 60% 的变异被解释；III：log(浓度) = 2 时预计致困约 16 分钟。哪些成立？（答案：C，I 与 III）——考查回归系数与 R² = r² 的实际解释。

（题 2.3）30 周体能训练后空腹血清胆固醇变化量 对基线值 的回归图。哪项为真？B) 相关系数应为负；等。（答案：B）——结合向均值回归思考：基线高者倾向于下降更多。

六、参考材料

主课件 ：Materials/session2handout.pdf（70 页，Sheikh Taslim Ali，页眉 CMED6100 – Session 2；Print3/Print6 为同一 handout 的打印排版副本，未单独使用）

辅助材料 ：Materials/Session-2 Concept note.pdf（概念卡：plot()、cor()、lm() 等 R 函数与概念问题）；Materials/session2_practice question.pdf（10 道 MCQ 及参考答案）

录音：Recordings/MSPH7901-0912-1.txt、Recordings/MSPH7901-0912-2.txt（用于"课堂要点补充"一节）

延伸阅读 （讲义 Slide 70）：Bland & Altman 关于相关与回归、向均值回归的系列文章（BMJ 1994; 308:896、308:1499、309:780）及两种临床测量方法一致性分析（Lancet 1986;i:307-310）

七、课堂要点补充（据课堂录音整理）

以下内容来自课堂录音转写（英文语音识别，个别词句有识别噪声，仅采信与课件一致或可交叉验证的部分）：

开场复习 ：回顾 Session 1 的位置度量（均值、中位数、众数）与离散度量（标准差、方差），并复习箱线图——箱体为 Q1、Q2（中位数）、Q3，须线端点为 Q1 − 1.5×IQR 与 Q3 + 1.5×IQR 以内的最远点，IQR 内含 50% 数据，界外点标记为离群值；散点图的第一步用途还包括核查数据录入错误 （图中出现明显偏离的点位时应先回查原始记录）。

图形展示的意义 ：教师展示了一张由护士出身的英国统计学家（即南丁格尔，Florence Nightingale）绘制的经典图形汇总，说明公共卫生数据经合理图形化后可同时呈现多维信息。

r = 0 的正确理解 ：教师多次强调，相关系数为 0 只表明没有线性关联 ，不能推出"没有关联"；非线性关系（如 U 形）下 r 同样可为 0。

方法的客观性 ：对同一数据、同一最小二乘准则，所有人得到同一条最优直线；公式推导不是重点，理解"最小化误差平方和"的原理即可，计算交给软件。

为什么用平方而不是绝对值 （课堂问答）：直接求和残差会因正负抵消而失真；取绝对值的最小绝对偏差法虽存在，但最小二乘法与方差、协方差体系一致，且平方后在数学与图形处理上更便利。

混杂与控制 （课堂问答）：当怀疑关联由其他因素驱动时，应把这些变量纳入模型（多变量回归）后再观察关系是否变化，即"控制"；多重回归与自相关问题将在后续 session 展开。R² 与拟合优度的进一步讨论亦在后续 session（约 Session 7）。

记忆测试与向均值回归 ：课堂现场进行两轮 15 词记忆测试，并展示往年学生 Test 1 对 Test 2 的散点图，直观呈现"第一轮极端得分在第二轮向均值靠拢"；教师另以电影续集（录音中举例 Spider-Man 系列）说明日常生活中的同类现象。

一致性测量的解读 ：Bland-Altman 差值图中，自报体重低于实测者与高于实测者同时存在，说明高相关系数（r = 0.98）不等于两种测量一致。